Menentukan Rumus Suku ke-n Barisan Aritmetika Bertingkat

Materi Matematika SMA

Barisan aritmatika adalah suatu barisan bilangan dengan pola tertentu berupa penjumlahan yang memiliki beda atau selisih yang sama atau tetap.

Rumus suku ke-n barisan aritmetika dasar adalah:

@$U_n=a+(n-1)b@$, dimana

@$a= U_1@$ (Suku ke-1)

b = beda (Selisih @$U_n-U_{n-1}@$)

n = suku ke-

Nah, pada barisan aritmetika dengan beda bertingkat rumus ke-n ada perbedaan. Dimana rumus untuk suku ke-n adalah:

@$U_n = an^2+bn+c@$, dimana,

@$a= U_1@$ (Suku ke-1)

b = beda (Selisih @$U_n-U_{n-1}@$)

c = konstanta

n = suku ke-

Perhatikan contoh soal berikut:

Tentukan suku ke-7 dari barisan aritmatika bertingkat 5, 6, 9, 14, …

Pembahasan:

Diketahui, @$U_1 = 5@$, @$U_2 = 6@$, @$U_3 = 9@$, dan @$U_4 = 14@$.

• Beda antara @$U_1@$ dengan @$U_2@$
  @$b = U_2 - U_1 = 6 - 5 = 1@$
• Beda antara @$U_2@$ dengan @$U_3@$
  @$b = U_3 - U_2 = 9 - 6 = 3@$
• Beda antara @$U3@$ dengan @$U_4@$
  @$b = U_4 - U_3 = 14 - 9 = 5@$

Sehingga, pola barisan akan menjadi seperti gambar berikut:

Kemudian, karena bedanya belum tetap (sama), kita anggap 1, 3, dan 5 sebagai suku-suku baru di tingkat pertama, dan kita cari selisih antara suku-suku baru tersebut.

• Beda antara @$U_1@$* dengan @$U_2@$*
  @$b = U_2* - U_1* = 3 - 1 = 2@$
• Beda antara @$U_2@$* dengan @$U_3@$*
  @$b = U_3* - U_2* = 5 - 3 = 2@$

Sehingga, diperoleh pola barisan aritmatika bertingkat dua sebagai berikut:

Nah, di awab tadi kita sudah tahu kalau rumus suku ke-n adalah @$U_n = an^2+bn+c@$, Namun tentu saja kita harus mencari terlebih dahulu nilai a, b, dan c. Untuk mempermudah menentukan nilai a, b, dan c, coba perhatikan pola barisan berikut:

Dari pola diatas kita dapat menentukan nilai a, b, dan c dengan mudah, dan kita peroleh:

@$2a = 2@$

@$a=1@$

@$3a+b=1@$

@$3(1) + b = 1@$

@$b=-2@$

@$a+b+c=5@$

@$1-2+c=5@$

@$c=6@$

Substitusikan a, b, dan c ke rumus suku ke-n:

@$U_n = (1)n^2+(-2)n+6@$

@$U_n = n^2-2n+6@$

Jadi suku ke-7 adalah:

@$U_7 = 7^2-2(7)+6=49-14+6=41@$

Untuk lebih memahami tentang Rumus suku ke-n berisan aritmetika bertingkat silahkan berlatih dengan soal berikut:

1. Diketahui barisan bilangan 2, 5, 10, 17, … rumus suku ke-n adalah…

Pembahasan:

Kita buat pola barisan terlebih dahulu.

2, 5, 10, 17, …

3, 5, 7, … (beda tingkat 1)

2, 2,  … (beda tingkat 2)

Sehingga:

@$2a = 2@$

@$a=1@$

@$3a+b = 3@$

@$3.1+b=3@$

@$b=0@$

@$a+b+c=2@$

@$3+0+c = 2@$

@$c=-1@$

Jadi :

@$U_n = (1)n^2+(0)n+(-1)@$

@$U_n = n^2-1@$