Menentukan Rumus Suku ke-n Barisan Aritmetika Bertingkat

Materi Matematika SMA

Barisan aritmatika adalah suatu barisan bilangan dengan pola tertentu berupa penjumlahan yang memiliki beda atau selisih yang sama atau tetap.

Rumus suku ke-n barisan aritmetika dasar adalah:

$U_n=a+(n-1)b$, dimana

$a= U_1$ (Suku ke-1)

b = beda (Selisih $U_n-U_{n-1}$)

n = suku ke-

Nah, pada barisan aritmetika dengan beda bertingkat rumus ke-n ada perbedaan. Dimana rumus untuk suku ke-n adalah:

$U_n = an^2+bn+c$, dimana,

$a= U_1$ (Suku ke-1)

b = beda (Selisih $U_n-U_{n-1}$)

c = konstanta

n = suku ke-

Perhatikan contoh soal berikut:

Tentukan suku ke-7 dari barisan aritmatika bertingkat 5, 6, 9, 14, …

Pembahasan:

Diketahui, $U_1 = 5$, $U_2 = 6$, $U_3 = 9$, dan $U_4 = 14$.

• Beda antara $U_1$ dengan $U_2$
  $b = U_2 - U_1 = 6 - 5 = 1$
• Beda antara $U_2$ dengan $U_3$
  $b = U_3 - U_2 = 9 - 6 = 3$
• Beda antara $U3$ dengan $U_4$
  $b = U_4 - U_3 = 14 - 9 = 5$

Sehingga, pola barisan akan menjadi seperti gambar berikut:

Kemudian, karena bedanya belum tetap (sama), kita anggap 1, 3, dan 5 sebagai suku-suku baru di tingkat pertama, dan kita cari selisih antara suku-suku baru tersebut.

• Beda antara $U_1$* dengan $U_2$*
  $b = U_2* - U_1* = 3 - 1 = 2$
• Beda antara $U_2$* dengan $U_3$*
  $b = U_3* - U_2* = 5 - 3 = 2$

Sehingga, diperoleh pola barisan aritmatika bertingkat dua sebagai berikut:

Nah, di awab tadi kita sudah tahu kalau rumus suku ke-n adalah $U_n = an^2+bn+c$, Namun tentu saja kita harus mencari terlebih dahulu nilai a, b, dan c. Untuk mempermudah menentukan nilai a, b, dan c, coba perhatikan pola barisan berikut:

Dari pola diatas kita dapat menentukan nilai a, b, dan c dengan mudah, dan kita peroleh:

$2a = 2$

$a=1$

$3a+b=1$

$3(1) + b = 1$

$b=-2$

$a+b+c=5$

$1-2+c=5$

$c=6$

Substitusikan a, b, dan c ke rumus suku ke-n:

$U_n = (1)n^2+(-2)n+6$

$U_n = n^2-2n+6$

Jadi suku ke-7 adalah:

$U_7 = 7^2-2(7)+6=49-14+6=41$

Untuk lebih memahami tentang Rumus suku ke-n berisan aritmetika bertingkat silahkan berlatih dengan soal berikut:

1. Diketahui barisan bilangan 2, 5, 10, 17, … rumus suku ke-n adalah…

Pembahasan:

Kita buat pola barisan terlebih dahulu.

2, 5, 10, 17, …

3, 5, 7, … (beda tingkat 1)

2, 2,  … (beda tingkat 2)

Sehingga:

$2a = 2$

$a=1$

$3a+b = 3$

$3.1+b=3$

$b=0$

$a+b+c=2$

$3+0+c = 2$

$c=-1$

Jadi :

$U_n = (1)n^2+(0)n+(-1)$

$U_n = n^2-1$