Materi Persamaan Trigonometri Kelas 11 Peminatan

Materi Matematika SMA

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini diharapkan siswa dapat menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri dasar.

B. Materi Persamaan Trigonometri

Dalam menentukan penyelesaian dari sebuah persamaan trigonometri, artinya kita harus menentukan setiap nilai x yang memenuhi persamaan tersebut.

Sebelum masuk kemateri persamaan tersebut ada materi prasyarat yang harus kita kuasai terlebih dahulu, yaitu tentang nilai-nilai trigonometri pada sudut-sudut istimewa. Perhatikan gambar berikut!

Persamaan Trigonometri Dasar

Persamaan trigonometri yang akan kita bahas meliputi:

1. @$\sin x = \sin 𝛼@$
2. @$\cos x = \cos 𝛼@$
3. @$\tan x = \tan 𝛼@$
4. @$\sin x = c@$, @$c@$ adalah konstanta
5. @$\cos x = c@$, @$c@$  adalah konstanta
6. @$\tan x = c@$, @$c@$  adalah konstanta

Menentukan penyelesaian persamaan trigonometri.

1. Persamaan sinus
   Jika @$\sin x = \sin 𝛼@$ maka berlaku:
   @$x = 𝛼 + k.360°@$, @$k\in \mathbb{C}@$
   @$x = (180° - 𝛼) + k.360°@$, @$k\in \mathbb{C}@$
2. Persamaan cosinus
   Jika @$\cos x = \cos 𝛼@$ maka berlaku:
   @$x = 𝛼 + k.360°@$, @$k\in \mathbb{C}@$
   @$x = -𝛼 + k.360°@$, @$k\in \mathbb{C}@$
3. Persamaan tangen
   Jika @$\tan x = \tan 𝛼@$ maka berlaku:
   @$x = 𝛼 + k.180°@$, @$k\in \mathbb{C}@$
   @$x = -𝛼 + k.180°@$, @$k\in \mathbb{C}@$

Untuk meingkatkan pemahaman kita tentang materi persamaan trigonometri, mari kita simak beberapa contoh soal berikut:

Contoh Soal 1 Persamaan Trigonometri

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan @$\sin 𝑥=\sin 70°,0°≤𝑥≤360°@$

Pembahasan:

@$\sin 𝑥=\sin 70°,0°≤𝑥≤360°@$

@$𝛼=70°@$

@$x = 𝛼 + k.360°@$

Untuk k = 0 maka @$x = 70° + 0.360° = 70°@$

untuk k = 1 maka @$x = 70° + 1.360° = 430°@$ (Tidak memenuhi interval)

@$x = (180° - 𝛼) + k.360°@$

Untuk k = 0 maka @$x = (180° - 70°) + 0.360° = 110°@$

Untuk k = 1 maka @$x = (180° - 70°) + 1.360° = 470°@$ (Tidak memenuhi interval)

Jadi HP ={70°, 110°}

Contoh Soal 2 Persamaan Trigonometri

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan @$2\cos x - \sqrt{3}=0 ,0°≤𝑥≤360°!@$

Pembahasan:

@$2\cos x - \sqrt{3}=0 ,0°≤𝑥≤360°@$

@$ 2\cos x = \sqrt{3}@$

@$ \cos x = \frac{1}{2}\sqrt{3}@$

@$ \cos x = \cos 30°@$

Jadi @$𝛼= 30°@$

@$x =𝛼 + k.360°@$

untuk @$k = 0@$ maka @$x =30° + 0.360°=30°@$

@$x =-𝛼 + k.360°@$

untuk @$k = 1@$ maka @$x =-30° + 1.360°=330°@$

@$HP = {30°, 330°}@$

Contoh Soal 3 Persamaan Trigonometri

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan @$\sqrt{3}\sin x = \cos x ,0°≤𝑥≤360°!@$

Pembahasan:

@$\sqrt{3}\sin x = \cos x@$

@$\sqrt{3}\frac{\sin x }{\cos x}= \frac{\cos x}{\cos x}@$

@$\sqrt{3}\tan x = 1@$

@$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}@$

@$\tan x = \tan 30°@$

@$𝛼=30°@$

Sehingga:

@$x = 𝛼 + k.180°@$

untuk @$k=0@$ maka @$x = 30° + 0.180° = 30°@$

untuk @$k=1@$ maka @$x = 30° + 1.180° = 210°@$

@$x = -𝛼 + k.180°@$

untuk @$k=1@$ maka @$x = -30° + 1.180° = 150°@$

untuk @$k=2@$ maka @$x = -30° + 2.180° = 330°@$

@$HP = {30°, 150°, 210°, 330°}@$

Download Modul