Pembahasan KSN-K Matematika SMA Tahun 2022 No.13

Pembahasan KSN Matematika 2022

Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh. Selamat sore sobat semua semoga dalam keadaan sehat dan tetap semangat. Postingan kali ini saya akan membahas soal KSN-K Matematika SMA tahun 2022 nomor soal 13 bagian 2 kemampuan lanjutan. Mari disimak!

13. Jika @$\sum_{k=1}^{\propto}\frac{2k+B}{3^{k+1}}=10@$

Maka nilai B = ...

Pembahasan:

@$\sum_{k=1}^{\propto}\frac{2k+B}{3^{k+1}}=10@$

@$\sum_{k=1}^{\propto}\frac{2k+B}{3^{k+1}}=10 .....(1)@$

Kedua ruas kali 3

@$3\sum_{k=1}^{\propto}\frac{2k+B}{3^{k+1}}=30@$

@$\sum_{k=1}^{\propto}\frac{2k+B}{3^{k}}=30 .....(2)@$

Kurangi (2) dan (1)

@$\sum_{k=1}^{\propto}\frac{2k+B}{3^{k}} -\sum_{k=1}^{\propto}\frac{2k+B}{3^{k+1}}=20@$

@$\frac{2+B}{3}+\sum_{k=2}^{\propto}\frac{2k+B}{3^{k}} -\sum_{k=1}^{\propto}\frac{2k+B}{3^{k+1}}=20@$

@$\frac{2+B}{3}+\sum_{k=1}^{\propto}\frac{2+2k+B-2k-B}{3^{k+1}}=20@$

@$\frac{2+B}{3}+\sum_{k=1}^{\propto}\frac{2}{3^{k+1}}=20 .......(3)@$

Bentuk @$\sum_{k=1}^{\propto}\frac{2}{3^{k+1}}@$ merupakan barisan geometri tak hingga dengan @$a=\frac{2}{9}@$ dan @$r=\frac {1}{3}@$, Sehingga:

@$\sum_{k=1}^{\propto}\frac{2}{3^{k+1}}=\frac {a}{1-r}@$

@$\hspace{2cm}=\frac {\frac{2}{9}}{1-\frac {1}{3}}@$

@$\hspace{2cm}=\frac{2}{9}\times \frac {3}{2}@$

@$\hspace{2cm}=\frac{1}{3}@$

Jadi:

@$\frac{2+B}{3}+\sum_{k=1}^{\propto}\frac{2}{3^{k+1}}=20@$

@$\frac{2+B}{3}+\frac{1}{3}=20@$

@$3+B=60@$

@$B=57@$

Nantikan pembahasan soal-soal KSN Matematika lainnya. semoga bermanfaat!

Jika ada cara yang silahkan share di kolom komentar.