Pembahasan KSN-K Matematika SMA Tahun 2022 No.14

Pembahasan KSN Matematika 2022

Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh. Selamat sore sobat semua semoga dalam keadaan sehat dan tetap semangat. Postingan kali ini saya akan membahas soal KSN-K Matematika SMA tahun 2022 nomor soal 14 bagian 2 kemampuan lanjutan. Mari disimak!

14. Diberikan tupel bilangan bulat $(𝑤_1,𝑤_2,… ,𝑤_7)$ sehingga memenuhi $𝑤_1+𝑤_2+𝑤_3+⋯+𝑤_7=155$ dengan $21≤𝑤_1,𝑤_2,… ,𝑤_7≤23$. Tentukan banyaknya tupel yang memenuhi.

Pembahasan:

Misalkan $𝑤_𝑖=21+𝑎_1$ untuk $0≤𝑎_𝑖≤2$ dan $1≤𝑖≤7$. Maka

$𝑤_1+𝑤_2+𝑤_3+⋯+𝑤_7=155$

$21+𝑎_1+21+𝑎_2+21+𝑎_3+⋯+21+𝑎_7=155$

$21.7+𝑎_1+𝑎_2+𝑎_3+⋯+𝑎_7=155$

$𝑎_1+𝑎_2+𝑎_3+⋯+𝑎_7=155-147$

$𝑎_1+𝑎_2+𝑎_3+⋯+𝑎_7=8$ dimana, $0≤𝑎_1,𝑎_2,𝑎_3,⋯,𝑎_7≤2$

Maka kemungkinannya penyelesaiannya adalah:

• Penyelesaian 1: (2,2,2,2,0,0,0) banyak cara menyusun: $\frac {7!}{4!.3!}=35$
• Penyelesaian 2: (2,2,2,1,1,0,0) banyak cara menyusun: $\frac {7!}{3!.2!.2!}=210$
• Penyelesaian 3: (2,2,1,1,1,1,0) banyak cara menyusun: $\frac {7!}{2!.4!}=105$
• Penyelesaian 4: (2,1,1,1,1,1,1) banyak cara menyusun: $\frac {7!}{6!}=7$

Jadi banyak total susunannya adalah $35+210+105+7 = 357$