Pembahasan KSN-K Matematika SMA Tahun 2022 No.15

Pembahasan KSN Matematika 2022

Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh. Selamat sore sobat semua semoga dalam keadaan sehat dan tetap semangat. Postingan kali ini saya akan membahas soal KSN-K Matematika SMA tahun 2022 nomor soal 15 bagian 2 kemampuan lanjutan. Mari disimak!

15. Diberikan segitiga siku-siku sama kaki ABC. Jika diketahui BC = AB dan titik L merupakan titik tengah BC. Misalkan titik P berada di AC sehingga BP tegak lurus dengan AL. Jika panjang 𝐶𝑃=30√2, maka tentukan panjang AB.

Pembahasan:

#Alternatif 1:

Perhatikan gambar berikut!

Misal BL = LC = a, maka AB = 2a.

Berdasarkan teorema Pythagoras didapat:

@$AL=\sqrt{(2a)^2+a^2}@$

@$= \sqrt{4a^2+a^2}@$

 @$= a\sqrt{5}@$

Segitiga ABL sebangun dengan segitiga BOL, sehingga berlaku:

@$\frac {BL}{AL}=\frac {LO}{BL}@$

@$\frac {a}{a\sqrt{5}}=\frac {LO}{a}@$

@$LO=\frac {a^2}{a\sqrt{5}}=\frac {a}{\sqrt{5}}@$

dan,

@$AO = AL - LO = a\sqrt{5}-\frac {a}{\sqrt{5}}=\frac {4a}{\sqrt{5}}@$

Bila menggunakan dalil Menelause diperoleh:

@$\frac {LO}{OA}.\frac {AP}{PC}.\frac {CB}{BL}=1@$

@$\frac {\frac {a}{\sqrt{5}}}{\frac {4a}{\sqrt{5}}}.\frac {AP}{30\sqrt{2}}.\frac {2a}{a}=1@$

@$\frac {1}{4}.\frac {AP}{30\sqrt{2}}.2=1@$

@$\frac {AP}{30\sqrt{2}}=2@$

@$AP=60\sqrt{2}@$

@$AC = AP + PC = 60\sqrt{2}+30\sqrt{2}=90\sqrt{2}@$

Dengan menggunakan Phytagoras didapat:

@$AC^2 = AB^2+BC^2@$

@${90\sqrt{2}}^2 = {2a}^2+{2a}^2@$

@$16200 = 8a^2@$

@$a^2=\frac {16200}{8}=2025@$

@$a=45@$

Jadi panjang AB = 2a

@$AB = 2(45)=90@$

#Alternatif 2:

Buatlah gambar menjadi seperti berikut:

dari gambar diperoleh nilai @$tan (x) = \frac {2a}{a}=2@$

Perhatikan segitiga AQC dan AOP berlaku hubungan:

@$\frac {AP}{PC}=\frac {AO}{OQ}@$

@$AP=\frac {AO}{OQ}\times PC@$

@$=\frac {tan x}{2 .cotan (x)}\times 30\sqrt{2}@$

@$=tan^2x\times 15\sqrt{2}@$

@$=2^2\times 15\sqrt{2}=60\sqrt{2}@$

@$AC= AP + PC = 60\sqrt{2}+30\sqrt{2} = 90\sqrt{2}@$

Dengan menggunakan phytagoras diperoleh:

@$AC^2 = AB^2+BC^2@$

@${90\sqrt{2}}^2 = {2a}^2+{2a}^2@$

@$16200 = 8a^2@$

@$a^2=\frac {16200}{8}=2025@$

@$a=45@$

Jadi panjang @$AB = 2a@$

@$AB = 2(45)=90@$