Pembahasan KSN-K Matematika SMA Tahun 2022 No.20
![]() |
Pembahasan KSN Matematika 2022 |
Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh. Selamat sore sobat semua semoga dalam keadaan sehat dan tetap semangat. Postingan kali ini saya akan membahas soal KSN-K Matematika SMA tahun 2022 nomor soal 20 bagian 2 kemampuan lanjutan. Mari disimak!
20. Diberikan bilangan asli $x, y, z$ sehingga $𝑥^2𝑦+𝑦^2𝑧+𝑧^2𝑥−23=𝑥𝑦^2+𝑦𝑧^2+𝑧𝑥^2−25=3𝑥𝑦𝑧$. Nilai terbesar dari $𝑥+𝑦+𝑧$ adalah ….
Pembahasan:
$𝑥𝑦^2+𝑦𝑧^2+𝑧𝑥^2−25=𝑥^2𝑦+𝑦^2𝑧+𝑧^2𝑥−23$
$𝑥𝑦^2+𝑦𝑧^2+𝑧𝑥^2-𝑥^2𝑦-𝑦^2𝑧-𝑧^2𝑥=25−23$
$(x-y)(y-z)(z-x)=2$ dan $(x-y)+(y-z)+(z-x)=0$
Tanpa mengurangi keumuman, misal $𝑥>𝑦$, maka $(𝑥−𝑦,𝑦−𝑧,𝑧−𝑥)$ yang memenuhi hanya $(2,−1,−1)$.
Sehingga:
$x-y=2$
$y-z=-1 \rightarrow y=z-1$
$z-x=-1 \rightarrow x=z+1$
Substitusikan $x=z+1$ dan $y=z-1$ ke soal, sehingga diperoleh:
$𝑥𝑦^2+𝑦𝑧^2+𝑧𝑥^2−25=3𝑥𝑦𝑧$
$(z+1)(z-1)^2+(z-1)𝑧^2+𝑧(z+1)^2−25=3(z+1)(z-1)𝑧$
$(z+1)(z-1)^2+(z-1)𝑧^2+𝑧(z+1)^2−25=3(z+1)(z-1)𝑧$
$3z^3−24=3z^3-3z$
$3z=24$
$z=8$
Jadi, Nilai $𝑥+𝑦+𝑧 = (z+1) + (z-1) + z = 3z = 3(8) = 24$
Posting Komentar untuk "Pembahasan KSN-K Matematika SMA Tahun 2022 No.20"