Pembahasan KSN-K Matematika SMA Tahun 2022 No.20

Pembahasan KSN Matematika 2022

Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh. Selamat sore sobat semua semoga dalam keadaan sehat dan tetap semangat. Postingan kali ini saya akan membahas soal KSN-K Matematika SMA tahun 2022 nomor soal 20 bagian 2 kemampuan lanjutan. Mari disimak!

20. Diberikan bilangan asli $x, y, z$ sehingga $𝑥^2𝑦+𝑦^2𝑧+𝑧^2𝑥−23=𝑥𝑦^2+𝑦𝑧^2+𝑧𝑥^2−25=3𝑥𝑦𝑧$. Nilai terbesar dari $𝑥+𝑦+𝑧$ adalah ….

Pembahasan:

$𝑥𝑦^2+𝑦𝑧^2+𝑧𝑥^2−25=𝑥^2𝑦+𝑦^2𝑧+𝑧^2𝑥−23$

$𝑥𝑦^2+𝑦𝑧^2+𝑧𝑥^2-𝑥^2𝑦-𝑦^2𝑧-𝑧^2𝑥=25−23$

$(x-y)(y-z)(z-x)=2$ dan $(x-y)+(y-z)+(z-x)=0$

Tanpa mengurangi keumuman, misal $𝑥>𝑦$, maka $(𝑥−𝑦,𝑦−𝑧,𝑧−𝑥)$ yang memenuhi hanya $(2,−1,−1)$.

Sehingga:

$x-y=2$

$y-z=-1 \rightarrow y=z-1$

$z-x=-1 \rightarrow x=z+1$

Substitusikan $x=z+1$ dan $y=z-1$ ke soal, sehingga diperoleh:

$𝑥𝑦^2+𝑦𝑧^2+𝑧𝑥^2−25=3𝑥𝑦𝑧$

$(z+1)(z-1)^2+(z-1)𝑧^2+𝑧(z+1)^2−25=3(z+1)(z-1)𝑧$

$(z+1)(z-1)^2+(z-1)𝑧^2+𝑧(z+1)^2−25=3(z+1)(z-1)𝑧$

$3z^3−24=3z^3-3z$

$3z=24$

$z=8$

Jadi, Nilai $𝑥+𝑦+𝑧 = (z+1) + (z-1) + z = 3z = 3(8) = 24$