Pengertian Fungsi Totient Euler (Euler’s Totient Function)

Materi Matematika SMA

Apa itu Fungsi Totient Euler?

Fungsi Totient Euler adalah sebuah fungsi untuk mencari banyaknya bilangan asli yang kurang dari sama dengan n yang relatif prima terhadap n. Dua bilangan disebut “relatif prima” jika FPB (Faktor persekutuan terbesar) kedua bilangan tersebut sama dengan 1. Fungsi ini biasa dinotasikan dengan simbol @$\phi ()@$ dibaca “fi”. Sebagai contoh, ada 4 buah bilangan yang relatif prima terhadap 8, yaitu 1, 3, 5, dan 7. Maka @$\phi (8)=4@$

Misalkan x adalah sebuah bilangan bulat positif, dan kita faktorisasikan sehingga @$x=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3} \ldots p_n^{a_n} @$ maka formulanya adalah sebagai berikut:

$$\phi(x)=x \prod_{i=1}^{n} (1-\frac{1}{p_i})$$
Sebagai contoh, @$20=2^2\cdot5@$ maka @$p_1=2@$, @$p_2=5@$, sehingga:

@$\phi(20)=20(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{5})@$
@$\phi(20)=20(\frac{1}{2})(\frac{4}{5})@$
@$\phi(20)=8 @$

Sifat-Sifat Euler’s Totient Function

1. @$\phi(1)=1@$
2. Untuk setiap bilangan prima p dan bilangan bulat @$k \ge 1, \phi(p^k)=p^k-p^{k-1}@$※ Untuk kasus @$k=1@$, sifat di atas menjadi @$\phi(p)=p-1@$
3. Jika @$FPB(m,n)=1@$, maka @$\phi(mn)=\phi(m)\cdot\phi(n)@$

Sebagai alternatif dari formula umum, kita dapat menghitung nilai \phi(x) dengan sifat-sifat di atas. Contohnya kita coba hitung @$\phi(20)@$ lagi dengan sifat-sifat saja:

Pertama, menggunakan sifat 3, kita pecah @$\phi(20)@$ menjadi beberapa fungsi sesuai dengan faktorisasi prima dari 20:

$$\phi(20)=\phi(2^2)\phi(5) $$

Kemudian nilai @$\phi(2^2)@$ dan @$\phi(5)@$ kita evaluasi dengan sifat 2:

$$\phi(20)=(2^2-2)(5-1)$$ 

$$\phi(20)=2\cdot4$$ 

$$\phi(20)=8 $$

Nilai-nilai @$\phi(x)@$ untuk beberapa nilai x pertama dapat dilihat di OEIS A000010. OEIS adalah sebuah pustaka web berisi barisan-barisan bilangan yang penting dan kerap muncul dalam matematika.

Source: https://aryasaktiwirasena.web.ugm.ac.id/2021/01/10/fungsi-totient-euler-eulers-totient-function/