Pembahasan KSN-K Matematika SMA Tahun 2022 No. 4

Pembahasan KSN Matematika 2022

Selanjutnya akan kita bahas soal KSN-K bidang matematika tahun 2022 nomor soal 4. Mari disimak!

4. Banyaknya pasangan bilangan bulat (𝑥,𝑦) sehingga |𝑥| + |𝑦| + |𝑥+𝑦| = 24 adalah ...

Pembahasan:

Berdasarkan sifat ketaksamaan nilai mutlak didapat:

|𝑥| + |𝑦| ≥ |𝑥+𝑦|

i. untuk |𝑥|+|𝑦| = |𝑥+𝑦|

|𝑥| + |𝑦| + |𝑥+𝑦| = 24

2|𝑥+𝑦| = 24

|𝑥+𝑦| = 12

𝑥 + 𝑦 = ±12

Sehingga didapat:

(𝑥,𝑦)=(0,12), (0,−12), (12,0), (−12,0) → ada 4

(1,11), (−1,−11), (11,1), (−11,−1) → ada 4

(2,10),…→ ada 4

(3,9),…→ ada 4

(4,8),…→ ada 4

(5,7),…→ ada 4

6,6),(−6,−6)…→ ada 2

Total ada sebanyak 6×4+2=26.

ii. Untuk |𝑥| + |𝑦| > |𝑥+𝑦|

Kemungkinan yang memenuhi |𝑥| + |𝑦| = 13 dan |𝑥+𝑦| = 11

(𝑥,𝑦) = (12,−1), (−1,12), (−12,1), (1,−12) → ada 4

Dengan cara yang sama didapat kemungkinan lainnya adalah:

|𝑥|+|𝑦|	|𝑥+𝑦|	Banyaknya
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24	11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0	4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2
		46

Jadi banyaknya pasangan (𝑥,𝑦) yang memenuhi ada sebanyak 26 + 46 = 72