Pembahasan KSN-K Matematika SMA Tahun 2022 No.8

Pembahasan KSN Matematika 2022

Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh. Selamat sore sobat semua semoga dalam keadaan sehat dan tetap semangat. Postingan kali ini saya akan membahas soal KSN-K Matematika SMA tahun 2022 nomor soal 8. Mari disimak!

8. Untuk setiap bilangan asli $n$, misalkan $S(n)$ adalah jumlah dari semua digit $n$. diberikan barisan $(𝑎_𝑛), 𝑎_1=5, 𝑎_𝑛=(𝑆(𝑎_{𝑛−1}))^2−1$ untuk $n\geq 2$. Tentukan sisa pembagian $𝑎_1+𝑎_2+𝑎_3+⋯+𝑎_{2022}$ dengan 21.

Pembahasan:

Karena $𝑎_1=5$ dan $𝑎_𝑛=(𝑆(𝑎_{𝑛−1}))^2−1$, maka 

$𝑎_2=(𝑆(𝑎_1))^2−1=5^2−1=24 $

$𝑎_3=(𝑆(𝑎_2))^2−1=6^2−1=35 $

$𝑎_4=(𝑆(𝑎_3))^2−1=8^2−1=63 $

$𝑎_5=(𝑆(𝑎_4))^2−1=9^2−1=80 $

$𝑎_6=(𝑆(𝑎_5))^2−1=8^2−1=63 $

⋮

Seterusnya akan berulang antara 63 (untuk n genap) dan 80 (untuk n ganjil), sehingga didapat

$𝑎_{2𝑘}=63$ dan $𝑎_{2𝑘+1}=80$,untuk $n\geq 2$

Juga didapat:

$𝑎_{2𝑘}+𝑎_{2𝑘+1}=63+80=143$

Akibatnya:

$𝑎_1+𝑎_2+𝑎_3+⋯+𝑎_{2022}=5+24+35+1009×143+63$

$\hspace{5.4cm}=64+1009×143+63$

$\hspace{5.4cm}=1+1×(−4)+0 (𝑚𝑜𝑑 21)$

$\hspace{5.4cm}=−3 (𝑚𝑜𝑑 21)$

$\hspace{5.4cm}=18 (𝑚𝑜𝑑 21)$

Jadi, sisa pembagiannya adalah 18.