Pembahasan KSN-K Matematika SMA Tahun 2022 No.8
![]() |
Pembahasan KSN Matematika 2022 |
Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh. Selamat sore sobat semua semoga dalam keadaan sehat dan tetap semangat. Postingan kali ini saya akan membahas soal KSN-K Matematika SMA tahun 2022 nomor soal 8. Mari disimak!
8. Untuk setiap bilangan asli $n$, misalkan $S(n)$ adalah jumlah dari semua digit $n$. diberikan barisan $(𝑎_𝑛), 𝑎_1=5, 𝑎_𝑛=(𝑆(𝑎_{𝑛−1}))^2−1$ untuk $n\geq 2$. Tentukan sisa pembagian $𝑎_1+𝑎_2+𝑎_3+⋯+𝑎_{2022}$ dengan 21.
Pembahasan:
Karena $𝑎_1=5$ dan $𝑎_𝑛=(𝑆(𝑎_{𝑛−1}))^2−1$, maka
$𝑎_2=(𝑆(𝑎_1))^2−1=5^2−1=24 $
$𝑎_3=(𝑆(𝑎_2))^2−1=6^2−1=35 $
$𝑎_4=(𝑆(𝑎_3))^2−1=8^2−1=63 $
$𝑎_5=(𝑆(𝑎_4))^2−1=9^2−1=80 $
$𝑎_6=(𝑆(𝑎_5))^2−1=8^2−1=63 $
⋮
Seterusnya akan berulang antara 63 (untuk n genap) dan 80 (untuk n ganjil), sehingga didapat
$𝑎_{2𝑘}=63$ dan $𝑎_{2𝑘+1}=80$,untuk $n\geq 2$
Juga didapat:
$𝑎_{2𝑘}+𝑎_{2𝑘+1}=63+80=143$
Akibatnya:
$𝑎_1+𝑎_2+𝑎_3+⋯+𝑎_{2022}=5+24+35+1009×143+63$
$\hspace{5.4cm}=64+1009×143+63$
$\hspace{5.4cm}=1+1×(−4)+0 (𝑚𝑜𝑑 21)$
$\hspace{5.4cm}=−3 (𝑚𝑜𝑑 21)$
$\hspace{5.4cm}=18 (𝑚𝑜𝑑 21)$
Jadi, sisa pembagiannya adalah 18.
Posting Komentar untuk "Pembahasan KSN-K Matematika SMA Tahun 2022 No.8"