Pembahasan KSN-K Matematika SMA Tahun 2022 No.17

Pembahasan KSN Matematika 2022

Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh. Selamat sore sobat semua semoga dalam keadaan sehat dan tetap semangat. Postingan kali ini saya akan membahas soal KSN-K Matematika SMA tahun 2022 nomor soal 17 bagian 2 kemampuan lanjutan. Mari disimak!

17. Diketahui a, b, c, d bilangan real positif memenuhi $a>c,d>b$ dan $4a^2+4b^2=4c^2+4d^2=5ac+5bd$. Nilai dari $20(\frac {ab+cd}{ad+bc})=$?

Pembahasan:

Perhatikan untuk kasus $a = d$ dan $c= b$!

Dari persamaan $4a^2+4b^2=5ac+5bd$ diperoleh:

$4(a^2+b^2)=5(ac+bd)$

$(a^2+b^2)=\frac {5}{4}(ab+ba)$

$(a^2+b^2)=\frac {5}{4}(2ab)$

$(a^2+b^2)=\frac {5}{2}ab$

Sehingga:

$20(\frac {ab+cd}{ad+bc})=20(\frac {ab+ab}{a^2+b^2})$

$\hspace{2cm}=20(\frac {2ab}{\frac {5}{2}ab})$

$\hspace{2cm}=20(\frac {4}{5})=16$