Pembahasan KSN-K Matematika SMA Tahun 2022 No.18

Pembahasan KSN Matematika 2022

Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh. Selamat sore sobat semua semoga dalam keadaan sehat dan tetap semangat. Postingan kali ini saya akan membahas soal KSN-K Matematika SMA tahun 2022 nomor soal 18 bagian 2 kemampuan lanjutan. Mari disimak!

18. Misalkan A adalah himpunan semua bilangan 8 digit yang digit-digitnya terdiri digit 1, 2, atau 3 dan memuat paling sedikit satu digit 2. Banyaknya bilangan N di A sehingga setiap digit 2 di N diapit oleh digit 1 dan 3…

Pembahasan:

• Kemungkinan 1 : banyak digit 2 ada 1, banyak kemungkinan posisi digit 2 ada 6 dan banyak kemungkinan digit-digit lainnya adalah $2^6$. Sehingga banyak bilangan 8 digit yang memenuhi ada sebanyak $6×2^6=6×64=384$
• Kemungkinan 2 : banyak digit 2 ada 2;
• Jika hanya satu angka diantara kedua angka 2:
  Banyaknya cara memilih kedua posisi angka 2 ada 4 cara.
  Banyaknya bilangan 8 digit yang memenuhi ada sebanyak $4×2^4=4×16=64$.
• Jika ada lebih dari 1 angka diantara kedua angka 2:
  Banyaknya cara memilih kedua posisi angka 2 ada $_4C_2=\frac {4!}{2!2!}=6$ cara.
  Banyaknya bilangan 8 digit yang memenuhi ada sebanyak $6×2^4=6×16=96$.

• Kemungkinan 3 : banyak digit 2 ada 3;
• Jika hanya ada satu angka di setiap angka 2 berurutan.
  Banyaknya cara memilih ketiga posisi angka 2 ada 2 cara.
  Banyaknya bilangan 8 digit yang memenuhi ada sebanyak $2×2^2=2×4=8$.
• Jika ada angka 2 berurutan yang terdapat lebih dari satu bilangan diantaranya.
  Banyaknya cara memilih ketiga posisi angka 2 ada 2 cara.
  Banyaknya bilangan 8 digit yang memenuhi ada sebanyak $2×2^2=2×4=8$.

Sehingga banyaknya bilangan 8 digit yang mungkin ada sebanyak $384 + 64 + 96 + 8 + 8 = 560$.