 |
| Pembahasan OSN-K Matematika SMA 2023 |
Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh. Masih dengan pembahasan soal OSN-K Matematika SMA tahun 2023, sekarang mari kita bahas soal nomor 7 kemampuan lanjutan.
Soal No. 11 (#OSN-K 2023)
Misalkan ABCD segiempat talibusur dengan lingkaran luar @$\omega @$ dan BC = CD. Diagonal AC dan BD berpotongan di titik E dan diketahui bahwa BE = 8 dan DE = 5. Jika garis singgung @$\omega @$ di titik A memotong perpanjangan diagonal BD di titik P, maka @$\frac{PD}{PB}@$ dapat dituliskan dalam bentuk @$\frac{m}{n}@$ dengan @$m@$, @$n@$ bilangan asli yang relatif prima. Nilai dari @$m+n@$ adalah ….
Pembahasan:
Mari kita perhatikan gambar berikut:
Karena @$BC = CD@$, maka @$\angle BAC = \angle CAD@$, akibatnya @$AC@$ merupakan garis bagi @$\angle BAD@$. Sehingga pada segitiga @$ABD@$ garis @$AE@$ merupakan garis bagi, maka berlaku: @$\frac{AB}{AD}=\frac{BE}{DE}=\frac{8}{5}@$.
Titik A merupakan titik singgung PA pada @$\omega@$, sehingga berlaku sudut lancip antara garis singgung dengan tali busur melalui titik singgung besarnya sama dengan sudut keliling menghadap tali busur tersebut, sehingga @$\angle{PAD}=\angle{PBA}@$. Perhatikan juga @$\angle{APD}=\angle{APB}@$. Jadi Segitiga @$APD@$ sebangun dengan segitiga @$APB@$, maka diperoleh perbandingan @$\frac{PD}{PA}=\frac{AD}{AB}=\frac{5}{8}@$
Dari power of point di dapat @$PA^2 = PD\cdot PB@$. Karena @$\frac{PD}{PA}=\frac{5}{8} \rightarrow PA=\frac{8}{5}PD@$, maka:
@$PA^2 = PD\cdot PB@$
@$(\frac{8}{5}PD)^2 = PD\cdot PB@$
@$\frac{64}{25}PD^2 = PD\cdot PB@$
@$\frac{64}{25}PD = PB@$
@$\frac{PD}{PB} = \frac{25}{64}@$
Sehingga @$\frac{PD}{PB} = \frac{25}{64}= \frac{m}{n}@$, @$m=25@$ dan @$n =64@$
Jadi @$m+n=25+64=89@$
Jawaban: 89
0 Komentar