Pembahasan Soal OSNK Matematika SMA 2025 #Part 1

Pembahasan OSNK Matematika SMA 2025

Soal No. 1 (#OSN-K 2025)

Banyaknya solusi persamaan @$𝑛^2 + 4𝑛 + 3 = 16𝑚@$ dengan 𝑚, 𝑛 bilangan asli dan 1 ≤ 𝑛 ≤ 110 adalah …

Pembahasan:

@$𝑛^2 + 4𝑛 + 3 = 16𝑚@$
@$(n + 1)(n + 3) = 16m@$
Karena @$16m \to genap@$, maka haruslah @$n \to ganjil@$
@$n=2a-1 @$
@$(2a-1+1)(2a-1+3) =16m@$
@$2a(2a+2)=16m@$
@$4a(a+1)=16m@$
@$a(a+1)=4m@$
misal: @$a = 4b@$ atau @$a+1 = 4b \to a=4b-1@$, @$b@$ bil asli

Kasus I: @$a = 4b@$
@$1 \leqslant n \leqslant 100@$
@$1\leqslant 2a-1 \leqslant 100@$
@$1\leqslant 2.4b-1 \leqslant 100 @$
@$1\leqslant 8b-1 \leqslant 100@$
@$2\leqslant 8b \leqslant 101@$
@$\frac{2}{8}\leqslant b \leqslant \frac{101}{8}@$
@$1 \leqslant b \leqslant 13@$ (ambil bilangan asli saja)
Ada 13 bilangan asli b

Kasus II: @$a = 4b-1@$
@$1 \leqslant n \leqslant 100@$
@$1\leqslant 2a-1 \leqslant 100@$
@$1\leqslant 2(4b-1)-1 \leqslant 100 @$
@$1\leqslant 8b-3 \leqslant 100@$
@$4\leqslant 8b \leqslant 103@$
@$\frac{4}{8}\leqslant b \leqslant \frac{103}{8}@$
@$1 \leqslant b \leqslant 14@$ (ambil bilangan asli saja)
Ada 14 bilangan asli b
Jadi, banyak solusi adalah banyaknya nilai b yang memenuhi.
yaitu @$13+14 = 27@$

Nantikan pembahasan soal-soal OSN Matematika lainnya!