Pembahasan OSK/OSN-K Matematika SMA Tahun 2023 #Part 1

Pembahasan OSN-K Matematika SMA 2023

Soal OSN-K Matematika SMA Tahun 2023

Soal No.1 (#OSN-K Tahun 2023)

Hasil penjumlahan semua solusi persamaan @$\left | x-\left | 2x+9 \right | \right |=99@$ adalah ...

Pembahasan:

Definisi nilai mutlak

Jika @$\left | f(x) \right |=a @$, maka:
@$f(x)=a@$, untuk @$f(x)\geqslant 0@$, dan @$f(x)=-a@$ untuk @$f(x) < 0 @$

#untuk @$f(x) = a@$ maka:
@$ x-\left | 2x+9 \right | =99@$
@$ x-99=\left | 2x+9 \right |@$
Syarat: @$ x-99 \geqslant 0@$ maka:
@$ x \geqslant 99@$
@$(x-99)^2=\left | 2x+9 \right |^2@$
@$(x-99)^2=( 2x+9 )^2@$
@$(x-99)^2-( 2x+9 )^2 = 0@$
@$(x-99+2x+9)(x-99-2x-9 ) = 0@$
@$(3x-90)(-x-108) = 0@$
@$x=30@$ (TM) atau @$x=-108@$ (TM)

#untuk @$f(x) = -a@$ maka:
@$ x-\left | 2x+9 \right | = -99@$
@$ x+99=\left | 2x+9 \right |@$
Syarat: @$ x+99 \geqslant 0@$ maka:
@$ x \geqslant =99@$
@$(x+99)^2=\left | 2x+9 \right |^2@$
@$(x+99)^2=( 2x+9 )^2@$
@$(x+99)^2-( 2x+9 )^2 = 0@$
@$(x+99+2x+9)(x+99-2x-9 ) = 0@$
@$(3x+108)(-x+90) = 0@$
@$x_1=-36@$ atau @$x_2=90@$ (Keduanya memenuhi syarat)

Jadi jumlah semua solusinya adalah:
@$x_1 + x_2=-36+90 = 54@$

Jawaban: 54